Question

已知公差大于零的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：a₃·a₄=117,a₂+a₅=22.
（1）求通項a_n;
(2)若數列{b_n}滿足b_n=,是否存在非零實數c使得{b_n}為等差數列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）a_n=1+(n-1)×4=4n-3（2）c=-

（1）由等差數列的性質得，a₂+a₅=a₃+a₄=22,所以a₃、a₄是關于x的方程x²-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a₃=9,a₄=13.
易知a₁=1,d=4,故通項為a_n=1+(n-1)×4=4n-3.
(2)由(1)知S_n==2n²-n,
所以b_n==.
方法一 所以b₁=,b₂=,b₃=(c≠0).
令2b₂=b₁+b₃,解得c=-.
當c=-時，b_n==2n,
當n≥2時，b_n-b_n-1=2.
故當c=-時，數列{b_n}為等差數列.
方法二 當n≥2時，
b_n-b_n-1=
=,
欲使{b_n}為等差數列，
只需4c-2=2(2c-1)且-3c="2c(c-1)" (c≠0)
解得c=-.