Question

已知a，b，c為正整數，方程ax²+bx+c=0的兩實根為x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|＜1，|x₂|＜1，則a+b+c的最小值為

11

．

Answer 1

分析：依題意

△=b2-4ac＞0 x1+x2=- b a ＜0 x1x2= c a ＞0

從而可得x₁，x₂∈（-1，0），則有

b2-4ac＞0 f(-1)=a-b+c＞0 x1x2= c a ＜1.

⇒

b2＞4ac b＜a+c c＜a.

結合a，b，c為正整數可求a+b+c得最小值

解答：解：依題意，可知

△=b2-4ac＞0 x1+x2=- b a ＜0 x1x2= c a ＞0

從而可知x₁，x₂∈（-1，0），
所以有

b2-4ac＞0 f(-1)=a-b+c＞0 x1x2= c a ＜1.

⇒

b2＞4ac b＜a+c c＜a.

又a，b，c為正整數，取c=1，則a+1＞b⇒a≥b，
所以a²≥b²＞4ac=4a⇒a＞4．從而a≥5，所以b²＞4ac≥20．
又b＜5+1=6，所以b=5，因此a+b+c有最小值為11．
下面可證c≥2時，a≥3，從而b²＞4ac≥24，所以b≥5．
又a+c＞b≥5，所以a+c≥6，所以a+b+c≥11．
綜上可得，a+b+c的最小值為11．
故答案為：11

點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布問題的求解，主要應用了方程的根與系數的關系及，還考查了一定的運算推理的能力．