Question

如圖，多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1．
（1）證明四邊形ABED是正方形；
（2）判斷點B，C，F，G是否四點共面，并說明為什么？
（3）連接CF，BG，BD，求證：CF⊥平面BDG．

Answer 1

分析：（1）要證明四邊形是一個正方形，首先證明四邊形是一個平行四邊形，這里應用兩個平面平行的性質定理，再根據一對鄰邊相等，得到正方形．
（2）要判斷四點共面，只要判斷三點共面，再證明第四個點在平面上，或者是證明四點在兩條平行的直線上，選擇后者，進行證明．
（3）要證明限于面垂直只要證明這條線與平面上的兩條相交直線垂直，解題的關鍵是找出這兩條線，選擇了BG和BD這兩條相交直線，得到結論．

解答：證明：（1）

平面ABC∥平面DEFG， 平面ABED∩平面ABC=AB， 平面ABED∩平面DEFG=DE，

?AB∥DE，
同理AD∥BE，
則四邊形ABED是平行四邊形．
又AD⊥DE，AD=DE，
∴四邊形ABED是正方形
（2）取DG中點P，連接PA，PF．
在梯形EFGD中，FP∥DE且FP=DE．
又AB∥DE且AB=DE，∴AB∥PF且AB=PF
∴四邊形ABFP為平行四邊形，
∴AP∥BF
在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，
∴B，C，F，G四點共面
（3）同（1）中證明方法知四邊形BFGC為平行四邊形．
且有AC∥DG、EF∥DG，從而AC∥EF，
∴EF⊥AD，BE∥AD
又BE=AD=2、EF=1故BF=

5

，而BC=

5

，
故四邊形BFGC為菱形，CF⊥BG
又由AC∥EF且AC=EF知CF∥AE．
正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD．

CF⊥BG CF⊥BD BG∩BD=B

?CF⊥平面BDG

點評：本題考查空間中直線與平面之間的位置關系，本題是一個非常適合作為高考題目的幾何題，是每一年必考的題目，注意解題的格式，和步驟的規范．