Question

設P₁，P₂，…P_n為平面α內的n個點，在平面α內的所有點中，若點P到點P₁，P₂，…P_n的距離之和最小，則稱點P為P₁，P₂，…P_n的一個“中位點”，例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點，現有下列命題：
①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；
②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．
其中的真命題是______（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，根據兩點之間線段最短，則C是A，B，C的中位點，正確；
②舉一個反例，如邊長為3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為5+2.5=7.5，而直角頂點到三個頂點的距離之和為7，
∴直角三角形斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點；故錯誤；
③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意一個點，故它們的中位點存在但不唯一；故錯誤；
④如圖，在梯形ABCD中，對角線的交點O，P是任意一點，則根據三角形兩邊之和大于第三邊得
PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，
∴梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．正確．
故答案為：①④．