【題目】已知函數
，
，
.
（1）當
時，若對任意
均有
成立，求實數k的取值范圍；
（2）設直線
與曲線
和曲線
均相切，切點分別為
，
，其中
.
①求證：
；
②當
時，關于x的不等式
恒成立，求實數a的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）①證明見解析；②
.
【解析】
（1）對任意
均有
成立，等價于
，所以只要使
和
，對恒成立，所以構造函數
求最小值大于等于零，
求其最大值，即可求出k的取值范圍；
（2）①由題可知，
為曲線
和曲線
的公切線，則兩切點處導數相等，且與連線斜率也相等，再結合
，即可證明；
②
恒成立等價于
，在
恒成立，所以構造函數
求得其最大值為
，而
，代換后可求出a的取值范圍.
（1）當
時，
，
由，知：，
①令
，對恒成立，
,
，
，
當
，
，
成立，
當
，，
，
，
，
∴
，
不成立，
∴.
②設，∴
，
當
時，
；
當
時，
，
∴
，∴
.
故：實數k的取值范圍是.
（2）由已知：
，
，
①由
得：
，
由
得：
，
故
，
∵，∴
，∴
，
故：
.
②，在恒成立.
設，
，
∴
在
為減函數，
∴
，
，
∵，
∴
，∴.
智慧小復習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正方形
的邊長為4，點
， 
分別為
， 
的中點，將
， 
，分別沿
， 
折起，使
， 
兩點重合于點
，連接
.
（1）求證： 
平面
；
（2）求
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
大學生是國家的未來，代表著國家可持續發展的實力，能夠促進國家綜合實力的提高.據統計，2016年至2020年我國高校畢業生人數y(單位：萬人)的數據如下表：
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
年份代號x | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
高校畢業生人數y(單位：萬人) | 765 | 795 | 820 | 834 | 874 |
（1）根據上表數據，計算y與x的相關系數r，并說明y與x的線性相關性的強弱.
(已知：
，則認為y與x線性相關性很強；
，則認為y與x線性相關性一般；
，則認為y與x線性相關性較弱)
（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測2022年我國高校畢業生的人數(結果取整數).
參考公式和數據：
，
，
，
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4―4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
（θ為參數），直線l的參數方程為
.
（1）若a=1，求C與l的交點坐標；
（2）若C上的點到l的距離的最大值為
，求a.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
經過點
，且動圓被
軸截得的弦長為4，記圓心的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的標準方程；
（2）過軸下方一點
向曲線作切線，切點記作
、
，直線
交曲線于點
，若直線
、的斜率乘積為
，點在以為直徑的圓上，求點
的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項和為
，且
．
（1）若為等差數列，且
①求該等差數列的公差
；
②設數列
滿足
，則當為何值時，
最大？請說明理由；
（2）若還同時滿足：
①為等比數列;
②
；
③對任意的正整數
存在自然數
，使得
、
、
依次成等差數列，試求數列的通項公式．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某校學生參加社區服務的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調查.已知該校共有學生960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區服務時間的統計數據如下：
超過1小時 | 不超過1小時 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區服務時間是否超過1小時與性別有關？
（3）從該校學生中隨機調查60名學生，一周參加社區服務時間超過1小時的人數記為X，以樣本中學生參加社區服務時間超過1小時的頻率作為該事件發生的概率，求X的分布列和數學期望.
附：
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的長軸長為
，且離心率為
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設橢圓的左焦點為
，點
是橢圓與
軸負半軸的交點，經過的直線
與橢圓交于點
，經過且與平行的直線與橢圓交于點
，若
，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的圖像是由函數
的圖像經如下變換得到：先將
圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），再將所得到的圖像向右平移
個單位長度.
（Ⅰ）求函數的解析式，并求其圖像的對稱軸方程；
（Ⅱ）已知關于
的方程
在
內有兩個不同的解
．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）證明：
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