Question

|AB|=|x_A-x_B|表示數(shù)軸上A，B兩點的距離，它也可以看作滿足一定條件的一種運算．這樣，可以將滿足下列三個條件的一個x與y間的運算p（x，y）叫做x，y之間的距離：條件一，非負性p（x，y）≥0，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y；條件二，交換律p（x，y）=p（y，x）；條件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
試確定運算s(x，y)=

|x-y|

1+|x-y|

是否為一個距離？是，證明；不是，舉出反例．

Answer 1

分析：要說明s（x，y）是否為距離，只要驗證它是否滿足三條即可．即滿足條件一，非負性p（x，y）≥0，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y；條件二，交換律p（x，y）=p（y，x）；條件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．

解答：解：①s(x，y)=

|x-y|

1+|x-y|

≥0等號成立當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|=0，即x=y，第一條滿足
②s（x，y）=

|x-y|

1+|x-y|

=

|y-x|

1+|y-x|

=s（y，x），第二條也滿足
③s（x，z）=

|x-z|

1+|x-z|

∵函數(shù)f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

（或

1

1 x +1

）在（0，+∞）上單調(diào)增，且|x-z|≤|x-y|+|y-z|
∴s（x，z）≤

|x-y|+|y-z|

1+|x-y|+|y-z|

=

|x-y|

1+|x-y|+|y-z|

+

|y-z|

1+|x-y|+|y-z|

≤

|x-y|

1+|x-y|

+

|y-z|

1+|y-z|

=s（x，y）+s（y，z），第三條也滿足．
總之，s（x，y）是距離．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、綜合法與分析法、絕對值不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．