Question

已知

i

，

j

是x，y軸正方向的單位向量，設

a

=(x-

3

)

i

+y

j

，

b

=(x+

3

)

i

+y

j

，且滿足

b

•

i

=|

a

|．
（1）求點P（x，y）的軌跡方程；
（2）過點(

3

，0)的直線l交上述軌跡于A，B兩點，且|AB|=8

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因P（x，y），欲求點M的軌跡C的方程，即尋找x，y之間 的關系式，利用向量間的關系求出P點的坐標后代入

b

•

i

=|

a

|即可得；
（Ⅱ）先設直線l的方程，將其與（1）中結論方程組成方程組，再利用兩點間的距離公式列出關于直線方程中參數的等式，由此式即可求得參數，從而求得直線l的方程．

解答：解：（1）∵

b

•

i

=(x+

3

)

i

2+y

i

•

j

=x+

3

，（2分）
∴x+

3

=

(x- 3 )2+y2

，（5分）
化簡得y2=4

3

x，（8分）
（2）設l：x=ty+

3

，由

x=ty+ 3 y2=4 3 x

?y2=4

3

(ty+

3

)?y2-4

3

ty-12=0（10分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）由|AB|=8

3

得

1+ 1 t2

|y1-y2|=

1+ 1 t2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 t2

•

(4 3 t)2+48

=8

3

（12分）

1+ 1 t2

•

t2+1

=2?t2=1?t=±1，（14分）
所以直線l的方程為x-y-

3

=0或x+y-

3

=0．（16分）

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．