Question

已知數列的前n項和。
（1）令，求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式。
（2）令，試比較與的大小，并予以證明。

Answer 1

解：（1）在中，
令n=1，可得，即，
，
所以，
所以，即，

，
又，

于是，所以。
（2）由（1）得，
所以，                       ①
             ②
由①-②得，，
所以，
，
于是確定與的大小關系等價于比較2ⁿ與2n+1的大小。
 猜想當n=1，2時，2ⁿ<2n+1，
當n≥3時，2ⁿ>2n+1，
下面用數學歸納法證明：
當n=3時，顯然成立；

則當n=k+1時，
，
所以當n=k+1時，猜想也成立。
于是，當n≥3，n∈N*時，2ⁿ>2n+1成立，
 綜上所述，當n=1，2時，；
                  當n≥3時，。