Question

（2013•眉山一模）已知函數f（x）=lnx-kx+1．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實數k的取值范圍；
（3）證明：

n

i=2

lni

i+1

＜

n(n-1)

4

（n∈N₊，n＞1）．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-k．能求出函數f（x）的單調區間．
（2）由（1）知k≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值為f（

1

k

），由此能確定實數k的取值范圍．
（3）由（2）知，當k=1時，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是減函數，f（1）=0，即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能夠證明

n

i=2

lni

i+1

＜

n(n-1)

4

（n∈N₊，n＞1）．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-k．
當k≤0時，f′(x)=

1

x

-k＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函數；
當k＞0時，若x∈(0，

1

k

)時，有f′(x)=

1

x

-k＞0，
若x∈(

1

k

，+∞)時，有f′(x)=

1

x

-k＜0，
則f（x）在（0，

1

k

）上是增函數，在（

1

k

，+∞）上是減函數．
（2）由（1）知k≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（1）知f（x）的最大值為f（

1

k

），要使f（x）≤0恒成立，
則f（

1

k

）≤0即可．，即-lnk≤0，得k≥1．
（3）由（2）知，當k=1時，
有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（1，+∞）上是減函數，f（1）=0，
即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，
令x=n²，則lnn²＜n²-1，
即2lnn＜（n-1）（n+1），從而

lnn

n+1

＜

n-1

2

，
∴

n

i=2

lni

i+1

＜

n(n-1)

4

（n∈N₊，n＞1）．

點評：本題考查函數單調區間的求法，確定實數的取值范圍，不等式的證明．考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．