Question

如圖，在四面體ABCD中，已知所有棱長都為a，點E、F分別是AB、CD的中點．
（1）求線段EF的長；（EF是兩異面直線AB與CD的公垂線）；
（2）求異面直線BC、AD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連CE、DE，在等邊△ABC中，求出EC與D，從而得到EF是等腰△ECD底邊上的高，根據(jù)勾股定理可求出所求；
（2）取AC中點H，連EH、FH，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠EHF是BC、AD所成的角，然后利用余弦定理可求出異面直線BC、AD所成角的大小．

解答：解：（1）連CE、DE，在等邊△ABC中，EC=DE=

3

2

a，
∴EF是等腰△ECD底邊上的高，EF⊥CD，
EF=

EC2-CF2

=

2

2

a
（2）取AC中點H，連EH、FH，則θ=∠EHF是BC、AD所成的角，
由余弦定理得cosθ=

EH2+HF2-EF2

2EH•HF

=0，θ=90°．

點評：本題主要考查了異面直線的距離，以及異面直線所成角，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，計算能力和推理能力，屬于中檔題．