Question

設橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，上頂點為A，過點A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且，若過A，Q，F₂三點的圓恰好與直線l：相切．過定點M（0，2）的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點（點G在點M，H之間）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l₁的斜率k＞0，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形．如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若實數λ滿足，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為，知a，c的一個方程，再利用△AQF的外接圓得出另一個方程，解這兩個方程組成的方程組即可求得所求橢圓方程；
（II）由（I）知設l₁的方程為y=kx+2，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的坐標表示即可求得滿足題意的點P且m的取值范圍．
（Ⅲ）先分兩種情況討論：①當直線l₁斜率存在時，設直線l₁方程為y=kx+2，代入橢圓方程消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的坐標表示即可求得滿足題意的λ的取值范圍；②又當直線l₁斜率不存在時，直線l₁的方程為x=0，同樣利用向量的坐標運算求λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為，
所以F₁為F₂Q中點．
設Q的坐標為（-3c，0），
因為AQ⊥AF₂，所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，
且過A，Q，F₂三點的圓的圓心為F₁（-c，0），半徑為2c．（2分）
因為該圓與直線l相切，所以．
解得c=1，所以a=2，．
故所求橢圓方程為．（4分）
（Ⅱ）設l₁的方程為y=kx+2（k＞0），
由得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則．（5分）
所以=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）．
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）．
由于菱形對角線互相垂直，則．（6分）
所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0．
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0．
因為k＞0，所以x₂-x₁≠0．
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0
即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0．
所以
解得．即．
因為k＞0，所以．
故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是．（8分）
（Ⅲ）①當直線l₁斜率存在時，
設直線l₁方程為y=kx+2，代入橢圓方程
得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
由△＞0，得．（9分）
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
則，．
又，所以（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2）．所以x₁=λx₂．（10分）
所以x₁+x₂=（1+λ）x₂，x₁x₂=λx₂²．
所以．將上式代入整理得：
．（11分）
因為，所以．即．
所以．
解得．
又0＜λ＜1，所以．（13分）
②又當直線l₁斜率不存在時，直線l₁的方程為x=0，
此時，，，，，所以．所以，即所求λ的取值范圍是．（14分）
點評：當直線與圓錐曲線相交時   涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化   同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．