Question

已知函數f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N*)，若存在正整數k滿足：f（1）•f（2）•f（3）•…•f（n）=k，那么我們把k叫做關于n的“對整數”，則當n∈[1，10]時，“對整數”共有（　　）

A．1個

B．2個

C．4個

D．8個

Answer 1

分析：由題意，f（x）=log_（x+1） （x+2）=

lg(x+2)

lg(x+1)

，再計算f（1）f（2）f（3）…f（x）=log₂（x+2），根據1≤x≤100，得log₂3≤log₂（x+2）≤log₂12，從而可得“對整數”的個數．

解答：解：由題意，根據換底公式得，f（x）=log_（x+1） （x+2）=

lg(x+2)

lg(x+1)

，
所以k=f（1）f（2）f（3）…f（x）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(x+2)

lg(x+1)

=

lg(x+2)

lg2

=log₂（x+2）．
∵1≤x≤10，∴log₂3≤log₂（x+2）≤log₂12
整數有log₂4，log₂8，即2，3，兩個整數．
故選：B．

點評：本題的考點排列、組合的實際應用，主要考查新定義，考查對數運算，屬于基礎題．