Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別交單位圓于A，B兩點．已知A，B兩點的橫坐標分別是

2

10

，

2 5

5

．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值．

Answer 1

分析：（1）先由已知條件得cosα=

2

10

，cosβ=

2 5

5

；再求sinα、sinβ進而求出tanα、tanβ；
最后利用tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

解之．
（2）利用第一問把tan（α+2β）轉化為tan[（α+β）+β]求之，再根據α+2β的范圍確定角的值．

解答：解：（1）由已知條件即三角函數的定義可知cosα=

2

10

，cosβ=

2 5

5

，
因為α為銳角，則sinα＞0，從而sinα=

1-cos2α

=

7 2

10

同理可得sinβ=

1-cos2β

=

5

5

，
因此tanα=7，tanβ=

1

2

．
所以tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

7+ 1 2

1-7× 1 2

=-3；
（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=

-3+ 1 2

1-(-3)× 1 2

=-1，
又0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，故0＜α+2β＜

3π

2

，
所以由tan（α+2β）=-1得α+2β=

3π

4

．

點評：本題主要考查正切的和角公式與轉化思想．