Question

（本小題滿分12分）

  如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，

，，分別為

的中點（Ⅰ）證明：四邊形是平行四邊形；

（Ⅱ）四點是否共面？為什么？

（Ⅲ）設，證明：平面平面；

Answer 1

（Ⅱ）四點共面

解析:

【解1】：（Ⅰ）由題意知，

所以又，故

所以四邊形是平行四邊形。

（Ⅱ）四點共面。理由如下：

由，是的中點知，，所以

由（Ⅰ）知，所以，故共面。又點在直線上

所以四點共面。

（Ⅲ）連結，由，及知是正方形

故。由題設知兩兩垂直，故平面，

因此是在平面內的射影，根據三垂線定理，

又，所以平面

由（Ⅰ）知，所以平面。

由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面

【解2】：由平面平面，，得平面，

以為坐標原點，射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系

（Ⅰ）設，則由題設得

所以

于是

又點不在直線上所以四邊形是平行四邊形。

（Ⅱ）四點共面。理由如下：由題設知，所以

又，故四點共面。

（Ⅲ）由得，所以

又，因此

即又，所以平面

故由平面，得平面平面

【點評】：此題重點考察立體幾何中直線與直線的位置關系，四點共面問題，面面垂直問題，考察了空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力；

【突破】：熟悉幾何公理化體系，準確推理，注意邏輯性是順利進行解法1的關鍵；在解法2中，準確的建系，確定點坐標，熟悉向量的坐標表示，熟悉空間向量的計算在幾何位置的證明，在有關線段，角的計算中的計算方法是解題的關鍵。