Question

(16分)已知函數， .

（1）求的單調區間和極值；

（2）設≥１，函數，若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍；

（3）對任意，求證：.

Answer 1

解析： (1) ∵        ……………………………………………2分

∴當＞１時，＜０，當０＜＜１時，＞０．

∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為，極大值為．    ……4分

(２) ∵（≥１）∴當時，，單調遞減，

此時值域為．    …………………………………………6分

由(1)得，當時，值域為，        ……………………………8分

由題意可得：≤－１，所以１≤≤.    ………………………………10分

（3）令，則，∵，∴，原不等式等價于

由（1）知在上單調遞減，∴，即……12分

令，∵，當時，，

∴在上單調遞增，∴，即……………14分

綜上所述，對任意，恒有成立. ……………………16分