Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A、B兩點．
（1）如果直線l過拋物線的焦點，求 · 的值；
（2）如果 · ＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：拋物線焦點為 ，設 ，代入拋物線方程 中得，
，
設 ，則 ，
∴
。
（2）解：設 ，代入拋物線方程 中得， ，
設 ，則 ，
∴
，
令 ，∴ ， ，
∴直線 過定點 ，∴若 ，則直線 必過一定點。
【解析】（1）根據拋物線的方程得到焦點的坐標，設出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系，表達出兩個向量的數量積．
（2）設出直線的方程，同拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系表示出數量積，根據數量積等于-4，做出數量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．