Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0），
(1)若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
(2)討論f（x）的單調(diào)性；
(3)證明：（n∈N*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。

Answer 1

解：（1），
∵x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
則，
∴a=0，驗(yàn)證知a=0符合條件；
（2），
1）若a=0時(shí)，
∴f（x）在上單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；
2）若，得當(dāng)a≤-1時(shí)，對(duì)x∈R恒成立，
∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
3）若-1＜a＜0時(shí)，由，
∴，
再令，可得，
∴上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
綜上所述，若a≤-1時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減；
若-1＜a＜0時(shí)，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
若a=0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減。
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈時(shí)，由，
∴，
∴
，
∴。