Question

某食品公司為了解某種新品種食品的市場需求，進行了20天的測試，人為地調控每天產品的單價P（元/件）：前10天每天單價呈直線下降趨勢（第10天免費贈送品嘗），后10天呈直線上升，其中4天的單價記錄如表：
而這20天相應的銷售量Q（百件/天）與x對應的點（x，Q）在如圖所示的半圓上．
（1）寫出每天銷售收入y（元）與時間x（天）的函數關系式y=f（x）；
（2）在這20天中哪一天銷售收入最高？為使每天銷售收入最高，按此次測試結果應將單價P定為多少元為好？（結果精確到1元）

Answer 1

【答案】分析：①前10天每天單價呈直線下降趨勢后10天呈直線上升，所以單價是天數的分段函數且兩段都是直線，利用兩點式寫出函數
②銷售收入等于單價乘以銷售量，將收入表示成時間的函數，利用基本不等式求銷售收入最值
解答：解：（1），，x∈[1，20]，x∈N^*，
∴．

（2）∵，
∴當且僅當（x-10）²=100-（x-10）²，
即時，y有最大值．
∵x∈N^*，
∴取x=3或17時，（元），
此時，p=7（元）．
答：第3天或第17天銷售收入最高，此時應將單價P定為7元為好．
點評：本題考查將實際問題轉化成數學問題，利用基本不等式求最值時，注意等號的取的時自變量是否在定義域內．