Question

(本小題滿分14分)

已知函數f(x)=(1+x)²-aln(1+x)²在(-2,-1)上是增函數，在（-∞，-2）上為減函數.

（1）求f(x)的表達式；

（2）若當x∈時，不等式f(x)＜m恒成立，求實數m的值；

（3）是否存在實數b使得關于x的方程f(x)=x²+x+b在區間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，若存在，求實數b的取值范圍.

Answer 1

解  （1）

∵f′(x)=

=, …………………………………………………………2分

依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數，在（-∞,-2)上為減函數.∴x=-2時，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.

代入方程解得a=1,

故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2. ……………………………………………………4分

(2)由于f′(x)= ,

令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=-2. …………………………………………………5分

（由于x∈，故x2=-2舍去），

易證函數在上單調遞減，

在［0，e-1］上單調遞增，

且f()=+2,f(e-1)=e²-2＞+2, ………………………………………7分

故當x∈時，f(x)_max=e²-2,

因此若使原不等式恒成立只需m＞e^2-2即可. ………………………………9分

（3）若存在實數b使得條件成立，

方程f(x)=x²+x+b

即為x-b+1-ln(1+x)²=0,

令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,

則g′(x)= , ………………………………………………10分

令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,

令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,  …………………………………………………11分

故g(x)在［0，1］上單調遞減，在［1，2］上單調遞增，要使方程f(x)=x²+x+b在區間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，只需g(x)=0在區間［0，1］和［1，2］上各有一個實根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3, 

故存在這樣的實數b,當2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件. …………………14分