Question

橢圓的兩個焦點F₁、F₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，且|PF₁|=．
（I）求橢圓C的方程．
（II）以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知．由PF₁⊥F₁F₂，知，，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設能構成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，故可設BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設k＜0），則BC邊所在直線的方程為y=-，由，得A，=，由此知存在三個內接等腰直角三角形．
解答：解：（Ⅰ）∵∴
又PF₁⊥F₁F₂，∴，，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4則c=，∴a=2，b²=1
∴所求橢圓方程為．（6分）
（Ⅱ）設能構成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），
由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，
故可設BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設k＜0），則BC邊所在直線的方程為y=-，
由，得A，
∴=，（9分）
用-代替上式中的k，得|BC|=，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²
∵k＜0，∴解得：k=-1或k=，故存在三個內接等腰直角三角形．（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意橢圓性質的靈活運用，合理地進行等價轉化．