Question

一個社會調查機構就某社區居民的月收入調查了10 000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（如圖）．
（1）為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業等方面的關系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調查，求月收入在[1500，2000）（元）段應抽出的人數；
（2）為了估計該社區3個居民中恰有2個月收入在[2000，3000）（元）的概率，采用隨機模擬的方法：先由計算器算出0到9之間取整數值的隨機數，我們用0，1，2，3，…表示收入在[2000，3000）（元）的居民，剩余的數字表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；再以每三個隨機數為一組，代表統計的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數如下：
907  966  191  925  271  932  812  458
569  683  431  257  393  027  556  488
730  113  537  989
據此估計，計算該社區3個居民中恰好有2個月收入在[2000，3000）（元）的概率．
（3）任意抽取該社區6個居民，用ξ表示月收入在（2000，3000）（元）的人數，求ξ的數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）先計算[1500，2000）的小矩形的面積即為頻率，然后根據頻數=頻率×樣本容量可求出所求；
（2）根據題意找出隨機數，滿足該社區3個居民中恰有2個月收入在[2000，3000）（元）的個數，然后利用古典概型的概率公式解之即可；
（3）隨機變量ξ服從二項分布，根據二項分布的數學期望公式E（ξ）=np可求出ξ的數學期望．
解答：解：（1）由頻率分布直方圖可知，月收入在[1500，2000）的頻率為0.004×500=0.2
所以應抽取的人數為0.2×100=20人
（2）由頻率分布直方圖可知，月收入在[2000，3000）（元）的頻率為2×0.0005×500=0.5
可以用數字0，1，2，3，4表示收入在[2000，3000）（元）的居民，數字5，6，7，8，9表示收入不在[2000，3000）（元）的居民
觀察上述隨機數可得，該社區3個居民中恰有2個月收入在[2000，3000）（元）的有191，271，932，812，393，027，730
由古典概型的定義可知，估計該社區3個居民中恰有2個月收入在[2000，3000）（元）的概率P==0.35．
（3）由（2）可知任意抽取該社區1個居民，月收入在（2000，3000）（元）的概率為0.5
所以隨機變量ξ服從于B（6，），所以E（ξ）=6×=3
點評：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及離散型隨機變量的數學期望和古典概型的概率，同時考查了計算能力，屬于基礎題．