Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的極值；

（2）設函數，若存在，使，證明：.

Answer 1

【答案】（1）函數的極小值為，無極大值（2）見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，根據函數的單調性求出函數的極值即可；

（2）求出a，問題轉化為證明lnx1+lnx2＜2（1），即ln2，不妨設x1＞x2，t1，即證lnt2，根據函數的單調性證明即可．

（1）的定義域為，

，

令，

所以，

當時，；

當時，.

所以在上單調遞減，

在上單調遞增.

所以.

所以函數的極小值為，無極大值.

（2），

當時，由于，所以，，即，

當時，由于，所以，，即，

當時，，

綜上，，故在單調遞增，

故只須證明，

即證，

由，可知，

故，

即證，

，

，

也就是，

，

，

.

不妨設，，

即證，

，

即證，

設，

，

故在單調遞增.

因而，

即，

因此結論成立.