Question

不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

與x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0的解集分別為A，B，其中a∈R．，求使A⊆（A∩B）的a 的取值范圍．

Answer 1

分析：解一元二次不等式求出集合A，解一元二次不等式，分2＜3a+1、2＞3a+1、2=3a+1三種情況分別求出集合B，由A⊆B，考查兩個區間的端點間的大小關系，求出a的取值范圍．

解答：解：∵不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

，∴-

(a-1)2

2

≤x-

(a+1)2

2

≤

(a-1)2

2

，
即  2a≤x≤a²+1，∴A=[2a，a²+1]．  （5分）
由 x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0  得  （x-2）[x-（3a+1）]≤0．
令（x-2）[x-（3a+1）]=0  得  x₁=2，x₂=3a+1．
當2＜3a+1，即a＞

1

3

 時，B={x|2≤x≤3a+1}，
當2＞3a+1，即x＜

1

3

時，B={x|3a+1≤x≤2}，
當2=3a+1，即a=

1

3

時，B={2}．（10分）
要使A⊆B，當A=∅時，a²+1＜2a，此時 （a-1）²＜0，不可能出現此種情況．所以A≠∅，
當a＞

1

3

時，2a≥2且a²+1≤3a+1，所以1≤a≤3．
當 a＜

1

3

時，2a≥3a+1且a²+1≤2，所以a=-1．
當 a=

1

3

時，2a=2且a²+1=2，所以a∈∅．
綜上所述：a的取值范圍是{a|1≤a≤3或a=-1}．（20分）

點評：本題主要考查集合關系中參數的取值范圍問題，體現了分類討論的數學思想，絕對值不等式、一元二次不等式的解法，屬于中檔題．