Question

（江西卷理22）已知函數(shù)，．

．當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

．對(duì)任意正數(shù)，證明：．

Answer 1

【試題解析】

、當(dāng)時(shí)，，求得 ，

于是當(dāng)時(shí)，；而當(dāng) 時(shí)，．

即在中單調(diào)遞增，而在中單調(diào)遞減．    

（2）.對(duì)任意給定的，，由 ，

若令 ，則   … ① ，而     …  ②

（一）、先證；因?yàn)?sub>，，，

又由  ，得 ．

所以

．

（二）、再證；由①、②式中關(guān)于的對(duì)稱性，不妨設(shè)．則

（ⅰ）、當(dāng)，則，所以，因?yàn)?，

，此時(shí)．

 （ⅱ）、當(dāng) …③，由①得 ,，，

因?yàn)?nbsp;  所以   … ④

 同理得 …  ⑤ ，于是   … ⑥

今證明   …  ⑦, 因?yàn)? ，

只要證  ，即 ，也即 ，據(jù)③，此為顯然．

 因此⑦得證．故由⑥得 ．

綜上所述，對(duì)任何正數(shù)，皆有．