Question

【題目】設拋物線： （）的焦點為，準線為， ，且在第一象限，已知以為圓心， 為半徑的圓交于， 兩點（在的上方），為坐標原點．

（1）若是邊長為的等邊三角形，且直線： （）與拋物線相交于， 兩點，證明： 為定值；

（2）記直線與拋物線的另一個交點為，若與的面積比為3，證明：直線過點．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據是邊長為的等邊三角形，可得，寫出拋物線的方程，利用直線和拋物線相交，聯立方程，根據根與系數的關系得，計算，根據得證；（2）過作于，過作于，設， ，根據條件，由得可得，從而，即則與重合，所以，則直線過點.

試題解析：

（1）∵，

∴，拋物線的方程為．

由得，

設， ，則，

∴，

∴，

∴為定值．

（2）與的面積比為．

過作于，過作于，設， ，

則， ，

由得，則，∴，

∴，

故直線的傾斜角為，易知，所以以為圓心， 為半徑的圓過點，則與重合，所以，則直線過點．