Question

【題目】(本小題滿分10分)[選修4-4,極坐標與參數方程選講]

在直角坐標系x0y中,曲線C1的參數方程為(為參數),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為p=4sin9

(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;

(Ⅱ)已知曲線C3的極坐標方程為=α,(0<α<x,p∈R),點A是曲線C3與C1的交點,點B是曲線C3與C2的交點,且A,B均異于原點O,且|AB|=4,求實數α的值

Answer 1

【答案】(Ⅰ) x2 + (y -2 )2 =4.

( Ⅱ ) α =.

【解析】分析：第一問利用同角的正余弦平方和等于1，對曲線進行消參，得到其普通方程，利用極坐標與平面直角坐標的轉換關系，求得曲線的直角坐標方程，對于第二問將曲線的直角坐標方程轉化為極坐標方程，從中利用極坐標中極徑分幾何意義，從而求得結果.

詳解：(Ⅰ)由曲線 C1 的參數方程為(φ為參數)

消去參數得曲線 C1 的普通方程為(x-2)2 +y2 =4.

又曲線 C2 的極坐標方程為ρ=4sinθ , ∴ρ2 =4ρsinθ ,

∴ C2 的直角坐標方程為 x2 +y2 =4y ,整理得:x2 + (y -2 )2 =4.

( Ⅱ )曲線 C1 :(x -2 )2 +y2 =4 化為極坐標方程為ρ=4cosθ

設 A (ρ1 ,α1 ), B (ρ2 ,α2 ),又曲線 C3 的極坐標方程為θ=α ,0< α < π ,

ρ∈R ,點 A是曲線C3 與 C1 的交點,B是曲線 C3 與C2 的交點,且均異于原點O ,且 | AB |=4 ,

∴| AB |=|ρ1- ρ2 |=|4sinα-4cosα|=4|sin (α-)|=4 ,

∴sin (α-)=±1 ,又0<α<π , ∴- <α- <, ∴ α - =

解得 α =.