Question

（2011•江西模擬）已知數列{a_n}滿足an+1=

2an

an+2

（n∈N^*），a2011=

1

2011

．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若bn=

4

an

-4023且cn=

b 2 n+1 + b 2 n

2bn+1bn

(n∈N*)，求證：c₁+c₂+…+c_n＜n+1．

Answer 1

分析：（1）由已知，得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

 (n∈N*)，從而數列{

1

an

}是以

1

a1

為首項，

1

2

為公差的等差數列，然后表示出{a_n}的通項公式，根據a2011=

1

2011

可求出a1，從而求出{a_n}的通項公式；
（2）將an=

2

n+2011

代入可得bn=4×

n+2011

2

-4023=2n-1然后求出c_n，然后計算c₁+c₂+…+c_n-n，經過化簡可證得結論．

解答：解：（1）由已知，得

1

an+1

=

1

2

+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

 (n∈N*)，
∴數列{

1

an

}是以

1

a1

為首項，

1

2

為公差的等差數列．

1

an

=

1

a1

+(n-1)×

1

2

=

(n-1)a1+2

2a1

，
∴an=

2a1

(n-1)a1+2

…（4分）
又因為a2011=

2a1

2010a1+2

=

1

2011

解得a1=

1

1006

∴an=

2× 1 1006

(n-1)× 1 1006 +2

=

2

n+2011

…（6分）
（2）證明：∵an=

2

n+2011

，
∴bn=4×

n+2011

2

-4023=2n-1-------（7分）
∴cn=

b 2 n+1 + b 2 n

2bn+1bn

=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(2n+1)(2n-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

∴c1+c2+…cn-n=(1+1-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

5

)+…+(1+

1

2n-1

-

1

2n+1

)-n=1-

1

2n+1

＜1
故c₁+c₂+…+c_n＜n+1…（12分）

點評：本題主要考查了構造新數列，以及等差數列的通項公式和數列的裂項求和法，同時考查了計算能力，屬于中檔題．