Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）求異面直線AB和PC所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC．
又∵PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC．
（Ⅱ）作PO⊥AB于點(diǎn)O，OM⊥AC于點(diǎn)M，連接PM．
∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，
根據(jù)三垂線定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
設(shè)PA=PB=

6

，∵PA⊥PB，∴AB=2

3

，PO=BO=AO=

3

．
∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴OM=AO•sin30°=

AO

2

，∴tanPMO=

PO

OM

=

AO

OM

=2，
即二面角P-AC-B的大小是arctan2．

（Ⅲ）在底面ABC內(nèi)分別過(guò)A、C作BC、AB的平行線，交于點(diǎn)D，
連接OC，OD，PD．
則∠PCD是異面直線AB和PC所成的角或其補(bǔ)角．
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，
∴BC=AB•tan30°=2，OC=

OB2+BC2

=

7

，
∴PC=

PO2+CO2

=

10

．
易知底面ABCD為矩形，從而OC=OD，PC=PD．
在△PCD中，cosPCD=

1 2 CD

PC

=

30

10

，
∴異面直線AB和PC所成角的大小為arccos

30

10

．