Question

（文）如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，在它的12條棱及12條面的對角線所在的直線中，選取若干條直線確定平面，在所有的這些平面中：
（1）、過B₁C且與BD平行的平面有且只有一個；
（2）、過B₁C且與BD垂直的平面有且只有一個；
（3）、存在平面α，過B1C與直線BD所成的角等于30．
其中是真命題的個數是（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：（1）先由線面平行的判定定理可證明符合條件的平面有平面B₁D₁C，再說明它的唯一性；（2）利用反證法，若存在過B₁C且與BD垂直的平面α，則BD與B₁C所成的角為90°，這與事實BD與B₁C所成的角為30°矛盾；（3）可以計算BD與平面A₁B₁CD所成的角就是30°：連接BC₁交B₁C于O，證明∠BDO就是直線BD與平面A₁B₁CD所成的角，進而在直角三角形中計算即可

解答：解：（1）在24條直線中，與直線BD平行的直線只有B₁D₁，故過B₁C且與BD平行的平面有且只有一個即平面B₁D₁C，故（1）正確；
（2）因為直線BD與直線B₁C所成的角即為∠A₁DB，已知△A₁DB為等邊三角形，所以直線BD與直線B₁C所成的角為60°，
假設存在過B₁C且與BD垂直的平面α，則因為B₁C?α，所以BD⊥B₁C，這與事實矛盾
故不可能存在過B₁C且與BD垂直的平面，（2）錯誤
（3）連接BC₁交B₁C于O
∵BC₁⊥B₁C，CD⊥BC₁，B₁C∩CD=C
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，即BO⊥平面A₁B₁CD
∴∠BDO就是直線BD與平面A₁B₁CD所成的角
在直角三角形BDO中，BD=

2

a，BO=

2

2

a，
∴∠BDO=30°
∴直線BD與平面A₁B₁CD所成的角為30°
故存在平面α，即平面A₁B₁CD，過B₁C與直線BD所成的角等于30°，（3）正確
故真命題的個數為2
故選C

點評：本題考查了正方體中的線面關系，線面平行、線面垂直的判定與性質，線面角的計算，具有較強的空間想象能力和推理能力是解決本題的關鍵