Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=（x²-ax）e^x（x∈R），a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（II）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再將f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)f′（x）≤0在閉區(qū)間[-1，1]上恒成立問題，進(jìn)而利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得a的范圍

解答：解：（I）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²e^x
f′（x）=2xe^x+x²e^x=（x²+2x）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞0或x＜-2
故f（x）單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）和（-∞，-2）
（II）由f（x）=（x²-ax）e^x，x∈R
得f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x
記g（x）=x²+（2-a）x-a，
依題x∈[-1，1]時(shí)，g（x）≤0恒成立，結(jié)合g（x）的圖象特征
得

g(1)=3-2a≤0 g(-1)=-1≤0

即a≥

3

2

，
∴a的取值范圍[

3

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的重要應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算，不等式恒成立問題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法