Question

我們把離心率等于黃金比例

5 -1

2

的橢圓稱為“優美橢圓”．設

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)是優美橢圓，F、A分別是它的左焦點和右頂點，B是它的短軸的一個端點，則∠ABF等于（　　）

• A、60°
• B、75°
• C、120°
• D、90°

Answer 1

分析：由于

c

a

=

5 -1

2

所以 2c2=(3-

5

)a2驗證|FA|²=|FB|²+|AB|²成立所以所以∠FBA等于 90°．

解答：解：∵

c

a

=

5 -1

2

∴2c2=(3-

5

)a2
在三角形FAB中有b²+c²=a²
|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=

a2+b2

∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²=

3+ 5

2

a2
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²
所以∠FBA等于 90°．
故選D．

點評：解決此類問題關鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質，以及利用邊長關系判斷三角形的形狀的問題．