Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=

2

，E、F分別是AB、CD的中點
（1）求證：D₁E⊥平面AB₁F；
（2）求直線AB與平面AB₁F所成的角；
（3）求二面角A-B₁F-B的大小．

Answer 1

以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建系如圖．

其中A（1，0，0），B（1，2，0），A₁（1，0，

2

），B₁（1，2，

2

），D₁（0，0，

2

），
E（1，1，0），F（0，1，0）
（1）

.

D1E

=（1，1，-

2

），

.

AF

=（-1，l，0），

.

AB1

（0，2，

2

）

.

D1F

•

.

AF

=-1+1+0=0，

.

D1E

•

.

AB1

=0+2-

2

×

2

=0，故

.

D1F

⊥

.

AF

，

.

D1E

⊥

.

AB1

即D₁E⊥AF，D₁E⊥AB_l，又AB_l∩AF=A，得D₁E⊥平面AB₁F．
（2）

.

AB

=（0，2，0），由（1）知平面AB₁F的法向量可為

D1E

=（1，1，-

2

），
設AB與平面AB₁F所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

.

D1E

，

.

AB

＞|=|

2

2×2

|=

1

2

，
故AB與平面AB₁F所成的角為30°
（3）

.

BF

=（-1，-1，0），

.

BB1

=（0，0，

2

），設平面BFB₁的法向量為

.

n

=（x，y，z），
則有-x-y=0，

2

z=0，
令x=1，則

.

n

可為（1，-l，0），
又平面AB₁F的法向量可為

.

D1E

=（1，1，-

2

），且

.

n

•

.

D1E

=1-1=0，
故

.

n

⊥

.

D1E

，即平面BFB₁⊥平面AB₁F
所以所求二面角大小為90°