Question

【題目】以橢圓的離心率為，以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于．

1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2過原點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，問：以為直徑的圓是否恒過軸上的定點(diǎn)？若恒過軸上的定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不恒過軸上的定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），．

【解析】

（1）由題意可得，從而解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）易知，設(shè)，，，從而可得，且，，，從而化簡可得，，假設(shè)存在滿足題意的軸上的定點(diǎn)，化簡可得，再結(jié)合解得結(jié)果.

（1）依題意，得，解得

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2），設(shè)，，

則由題意，可得

由橢圓對稱性可知：

，

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，解得

同理，可得

假設(shè)存在滿足題意的軸上的定點(diǎn)，則有，即

因?yàn)?/span>，

所以，即

整理得，

又

解得或．

故以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)，