Question

已知雙曲線的兩個焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．且．又雙曲線C上的任意一點E滿足
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C上的點P滿足的值；
（3）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，-1），求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，由此能導出雙曲線C的方程．
（2）．再結合余弦定理由的值．
（3）聯立，由直線與雙曲線有兩個不同交點，知1-3k²≠0且△=12（m²+1-3k²）＞0．由此能導出m的取值范圍．
解答：解：（1）由

∴雙曲線C的方程為．
（2）．

∴|PF₁|•|PF₂|=3
（3）聯立
∵直線與雙曲線有兩個不同交點，
∴1-3k²≠0且△=12（m²+1-3k²）＞0．①
，∴
整理得3k²=4m+1．②
將②式代入①式，得m²-4m＞0，∴m＞4或m＜0．
．
∴m的取值范圍為．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，計算量較大，比較繁瑣，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，提高解題能力和解題技巧．