Question

已知（）是曲線上的點，，是數列的前項和，且滿足，， ．
（1）證明：數列（）是常數數列；
（2）確定的取值集合，使時，數列是單調遞增數列；
（3）證明：當時，弦（）的斜率隨單調遞增

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．

試題分析：（1）由已知有，即，而數列中，因此已知式變為，這是的遞推式，我們可以用代換其中的得，兩式相減，可把轉化為的遞推式，出現了數列相鄰項的和時，同樣再把這個式子中的用代換，得，兩式相減，得，代入可證得為常數；（2）由（1）說明數列的奇數項，偶數項分別成等差數列且公差為6，因此要使數列為遞增數列，只要有即可，解這個不等式可得的范圍；（3），本題就是要證明，考慮到數列是遞增數列，函數是增函數，因此只要證，即證
，這就是，從的圖象上可算出這個結論是正確的，從數上看，取為常數，，我們要證明函數為增函數，這用導數的知識可證．
（1）當時，由已知得，
因為，所以.       ①
于是，       ②
由②－①得，       ③
于是，       ④
由④－③得.       ⑤
所以，即數列是常數數列.
（2）由①有，所以.由③有，所以.而⑤表明數列和分別是以為首項，6為公差的等差數列，
所以，
數列是單調遞增數列，且對任意的成立，
且
.
即所求取值集合為.
（3）解法一：弦的斜率為，
任取，設函數，則，
記，則，
當時，，在上為增函數，
當時，，在上為減函數，
所以時，，從而，所以在和上都是增函數.
由（2）知時，數列單調遞增，
取，因為，所以，
取，因為，所以，
所以，即弦的斜率隨單調遞增.
解法二：設函數，同解法一得，在和上都是增函數，
所以，，
故，即弦的斜率隨單調遞增.