Question

記函數f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈S，f₂（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素，例如f（x）=-x+1，對任意x∈R，f₂（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）設函數f（x）=log₂（1-2^x），判斷f（x）是否是M的元素；
（2）f（x）=

ax

x+b

∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

Answer 1

分析：（1）直接根據題中的定義判斷f（x）=log₂（1-2^x）是否是M的元素即可；
（2）根據定義，問題可轉換為f₂（x）=f（f（x））=x對一切定義域中x恒成立，建立等式，從而可得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范圍．

解答：解：（1）∵f(f(x))=log2(1-2log2(1-2x))=log2(1-1+2x)=x
∴f（x）=log₂（1-2^x）∈M
（2）∵f(x)=

ax

x+b

∈M，
∴f₂（x）=f（f（x））=x對一切定義域中x恒成立．

a• ax x+b

ax x+b +b

=x，
解得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，故a+b=0
由f（x）＜1，得到

ax

x-a

-1＜0，

(a-1)x+a

x-a

＜0，
由a＜0，

x- a 1-a

x-a

＞0而0＞

a

1-a

＞a，
故x的范圍為：x＞

a

1-a

或  x＜a     （13分）

點評：本題主要考查了對數函數及其應用，以及分式不等式的解法和新定義，根據是對新定義的理解，同時考查學生等價轉化問題的能力．