Question

【題目】已知函數f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x． （Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若x∈[0， ]，求函數f（x）的最值及相應x的取值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1 =sin2x+cos2x+2= sin（2x+ ）+2，
令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
則kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
則有函數的單調遞增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．
（Ⅱ）當x∈[0， ]時，2x+ ∈[ ， ]，
則有sin（2x+ ）∈[﹣1，1]，
則當x= 時，f（x）取得最小值，且為1，
當x= 時，f（x）取得最大值，且為 +2
【解析】（Ⅰ）運用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角和的正弦公式，化簡函數f（x），再由正弦函數的周期和單調增區間，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x的范圍，可得2x﹣2x+ 的范圍，再由正弦函數的圖象和性質，即可得到最值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦函數的單調性的相關知識，掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數，以及對三角函數的最值的理解，了解函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．