Question

（2012•虹口區(qū)一模）已知橢圓P的焦點坐標為

0，±1

，長軸等于焦距的2倍．
（1）求橢圓P的方程；
（2）矩形ABCD的邊AB在y軸上，點C、D落在橢圓P上，求矩形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后所得圓柱體側(cè)面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意易得：a=2c=2，b²=3，由此即可得到橢圓P的方程；
（2）設(shè)D（x，y），可根據(jù)圓柱體側(cè)面積公式得到S_側(cè)=4π|xy|．再由點D在橢圓上，代入橢圓再結(jié)合基本不等式可得|xy|≤

3

，從而得到所求側(cè)面積的最大值為4

3

π．

解答：解：（1）由題意，得c=1且2a=2×2c，所以a=2，b²=a²-c²=3
∴橢圓P的方程為

x2

3

+

y2

4

=1…（4分）
（2）矩形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后所得圓柱體側(cè)面積為S_側(cè)=2π•|BC|•|AB|=4π|xy|…（7分）
設(shè)D

x，y

，由點D在橢圓上，得1=

x2

3

+

y2

4

≥2

x2 3 • y2 4

=

|xy|

3

，得|xy|≤

3

，
當(dāng)

x2

3

=

y2

4

=

1

2

，即|x|=

6

2

，|y|=

2

時取等號．…（12分）
∴S_側(cè)=4π|xy|≤4

3

π，當(dāng)|x|=

6

2

，|y|=

2

時，側(cè)面積的最大值為4

3

π．…（14分）

點評：本題給出矩形一邊在y軸，另兩個頂點在橢圓上，求矩形旋轉(zhuǎn)構(gòu)成圓柱側(cè)面積的最大值，著重考查了橢圓的簡單性質(zhì)、基本不等式和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積等知識，屬于中檔題．