Question

（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量=，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（3，0），求矩陣M．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
過點(diǎn)M（3，4），傾斜角為的直線l與圓C：（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)，試確定|MA|•|MB|的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足a+b+c+d+e=8，a²+b²+c²+d²+e²=16，試確定e的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)矩陣 ，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=3及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e₁及矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將（-1，2）變換成（3，0），得到關(guān)于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（2）先將曲線的參數(shù)方程化成普通方程，再將直線的參數(shù)方程代入其中，得到一個(gè)關(guān)于t的二次方程，最后結(jié)合參數(shù)t的幾何意義利用根與系數(shù)之間的關(guān)系即可求得距離之積．
（3）首先分析題目已知a²+b²+c²+d²+e²=16，可以考慮到柯西不等式的應(yīng)用，建立關(guān)于e 的不等關(guān)系后，再根據(jù)不等式的解法即可．
解答：解：（1）設(shè)矩陣 ，這里a，b，c，d∈R，
則 =3 ，故
=，故
聯(lián)立以上兩方程組解得a=1，b=2，c=2，d=1，故M=．
（2）由已知得直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），
即 （t為參數(shù)）．（3分）
曲線的普通方程為（x-2）²+（y-1）²=25．（6分）
把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，得
t²+（ +3）t-15=0，
∴t₁t₂=15，（8分）
∴點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積為15．（10分）
（3）由柯西不等式，（a+b+c+d）²≤（1²+1²+1²+1²）（a²+b²+c²+d²）
所以得：4（16-e）²≥（8-e）²．
解得：0≤e≤
不姐僅當(dāng)a=b=c=d=時(shí)，e取最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算、考查圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程的概念、一元二次方程等基礎(chǔ)知識(shí)，、不等式的證明問題，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的應(yīng)用問題，有一定的技巧性，需要同學(xué)們對(duì)兩種不等式非常熟練，屬于中檔題目．