Question

已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，a∈R。
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值和該切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），當(dāng)h（x）存在最小值時(shí)，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）對(duì)（2）中的φ（a）和任意的a>0，b>0，證明：。

Answer 1

解：（1）
由已知得
解得，x=e²
∴兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e²，e）
切線的斜率為
∴切線的方程為。
（2）由條件知
∴
（i）當(dāng)a>0時(shí)，令h'（x）=0，解得x=4a²
∴當(dāng)0＜x＜4a²時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上遞減
當(dāng)x>4a²時(shí)，h'（x）>0，h（x）在（4a²，+∞）上遞增
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h（x）的最小值點(diǎn)
∴最小值φ（a）= h（4a²）=2a-aln4a²=2a（1-ln2a）。
（ii）當(dāng)a≤0時(shí)，
h（x）在（0，+∞）上遞增，無(wú)最小值。
故h（x）的最小值φ（a）的解析式為φ（a）= 2a（1-ln2a）（a >0）。
（3）由（2）知φ'（a）=-21n2a，對(duì)任意的a>0，b>0



故由①②③得
。