Question

【題目】已知函數(shù)，．

(1)求證：在區(qū)間上無零點；

(2)求證：有且僅有2個零點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

(1)求出，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而分析其圖像與軸無交點即可.
(2)顯然是函數(shù)的零點,再分析在上和在上無零點,在上有一個零點，從而得證.

(1)，．

當時，；當時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

而，，

所以當時，，

所以在區(qū)間上無零點．

(2)的定義域為．

①當時，，，

所以，從而在上無零點．

②當時，，從而是的一個零點．

③當時，由(1)知，所以，又，

所以，從而在上無零點．

④當時，，，

所以在上單調(diào)遞減．

而，，從而在上有唯一零點．

⑤當時，，所以，從而在上無零點．

綜上，有且僅有2個零點．