Question

已知：橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過（0，1）點，離心率e=

2

2

；直線l：y=kx+m（m＞0）與圓O：x²+y²=1相切，并與橢圓C交于不同的兩點A、B，（O為坐標原點）．
Ⅰ．求橢圓C的方程及m與k的關系式m=f（k）；
Ⅱ．設＜

OA

，

OB

＞=θ，且滿足|

OA|

=

2

，|

OB

|=

10

3

，cosθ=

5

5

求直線l的方程；
Ⅲ．在Ⅱ．的條件下，求三角形AOB的面積．

Answer 1

分析：Ⅰ．由題意可知b=1，a²=2，由此可以求出橢圓C的方程．再由直線l：y=kx+m（m＞0）與圓x²+y²=1相切，能夠導出m與k的關系式m=f（k）．
Ⅱ．由

y=kx+m x2 2 +y2=1

消去y得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，然后由根的判別式和根與系數的關系求直線l的方程．
Ⅲ．|OA|為三角形的底邊，|y_B|為三角形的高，由此能夠推導出三角形AOB的面積．

解答：解：Ⅰ．∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，過（0，1）點，∴b=1，
e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

∴a²=2，
∴橢圓C方程為：

x2

2

+y2=1；
∵直線l：y=kx+m（m＞0）與圓x²+y²=1相切，
∴

|m|

1+k2

=1，m=

1+k2

，即m=f(k)=

1+k2

；
Ⅱ．

y=kx+m x2 2 +y2=1

消去y得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=8k²＞0，∴k≠0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1•x2=

2m2-2

2k2+1

，

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cosθ=

2

•

10

3

•

5

5

=

2

3

；
又

OA

•

OB

=(x1，y1)(x2，y2)=x1x2+y1y2═

k2+1

2k2+1

=

2

3

k²=1，k=±1；∴m=f(k)=

1+k2

=

2

，
直線l的方程為：y=x+

2

或y=-x+

2

，
Ⅲ．由Ⅱ．知k=±1；m=

2

消去y得3x2±4

2

x+2=0，
x1+x2=

4 2

3

，x1x2=

2

3

由弦長公式：|AB|=

4

3

，
∴S△AOB=

1

2

•1•|AB|=

2

3

，
∵|

OA

|=

2

∴A(±

2

，0)
∴直線AB過(±

2

，0)點；
∵＜

OA

，

OB

＞=θ，
且cosθ=

5

5

∴sinθ=

2 5

5

，k_OB=tanθ=±2
∴l_OB：y=±2x，與

x2

2

+y2=1
聯立解得：x=

2

3

，y=-

2 2

3

或x=-

2

3

，y=

2 2

3

即B1(-

2

3

，

2 2

3

)，B2(

2

3

，-

2 2

3

)，
由兩點得AB的方程為：y=±x+

2

，
由前面解知：|OA|為三角形的底邊，|y_B|為三角形的高，|yB|=

2 2

3

，S_△AOB=

1

2

|

OA

|•|y_B|=

1

2

×

2

×

2 2

3

=

2

3

．

點評：本題考查橢圓知識的綜合運用，有一定的難度，在解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．