Question

已知M（-3，0）、N（3，0），P為坐標平面上的動點，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數m(m≥-1,m≠0).

(1)求P點的軌跡方程并討論軌跡是什么曲線？

(2)若m=，P點的軌跡為曲線C，過點Q（2，0）的直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，設=λ,且λ∈［2,3］,求l在y軸上的截距的變化范圍.

Answer 1

解：(1)由·=m,得y²=m(x²-9)，

若m=-1,則方程為x²+y²=9，軌跡為圓；

若-1＜m＜0,則方程為+=1，軌跡為橢圓；

若m＞0,則方程為-=1，軌跡為雙曲線.

(2)m=時,曲線C的方程為+=1，

設l的方程為x=ty+2,與曲線C的方程聯立得(5t²+9)y²+20ty-25=0，

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則y₁+y₂=,    ①

y₁y₂=,② 

由=λ,得y₂=-λy₁,代入①②,得(1-λ)y₁=,③

λy₁²=,④ 

③式平方除以④式得-2+λ=，

而-2+λ在λ∈［2,3］上單調遞增,≤-2+λ≤,≤≤2，

得≤≤3,

l在y軸上的截距為b,b²=()²=∈［,12］,

b∈［-2,］∪［,2］.