Question

設f（x）=x²-bx+c對一切x∈R恒有f（1+x）=f（1-x）成立，f（0）=3，則當x＜0時f（b^x）與f（c^x）的大小關系是（　　）

A．f（b^x）＜f（c^x）

B．f（b^x）＞f（c^x）

C．f（b^x）=f（c^x）

D．與x的值有關

Answer 1

分析：首先根據二次函數的對稱軸為x=1求出b的值，再由f（0）=3求出c的值，由冪函數的性質判斷出b^x與c^x的大小，最后利用二次函數在（-∞，1）上為減函數得到結論．

解答：解：由f（x）=x²-bx+c對一切x∈R恒有f（1+x）=f（1-x）成立，知其對稱軸為x=1，
而f（x）=x²-bx+c的對稱軸為x=

b

2

，所以

b

2

=1，b=2．
又f（0）=3，則c=3，
那么，當x＜0時，3^x＜2^x＜1^x=1，即c^x＜b^x＜1．
因為f（x）=x²-bx+c=x²-2x+3在（-∞，1）上為減函數，
所以f（b^x）＜f（c^x）．
故選A．

點評：本題考查了函數的對稱性，考查了利用函數的性質比較指數式的大小，考查了二次函數的單調區間，此題是中檔題．