Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=x²+bx+c
（1）若函數h（x）=f（x）+g（x）是單調遞增函數，求實數b的取值范圍；
（2）當b=0時，兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點P，設曲線f（x），g（x）在P處的切線分別為l₁，l₂，若切線l₁，l₂與x軸圍成一個等腰三角形，求P點坐標和c的值；
（3）當b=-2e²時，討論關于x的方程

f(x)

x

=g（x²）的根的個數．

Answer 1

分析：（1）先確定出函數的自變量取值范圍，利用函數是單調遞增函數知道其導函數一定大于等于零．
法一：利用a+b≥2

ab

求最值的方法確定出b的取值范圍即可；
法二：利用二次函數圖象法求出b的取值范圍即可．
（2）b=0時，f（x）=lnx，g（x）=x²+c，據題意設出公共點，由切線l₁，l₂與x軸圍成一個等腰三角形可知，一個傾斜角是另外一個的2倍列出方程求出公共點坐標即可，分情況討論求出P，把P坐標代入到g（x）中即可求出c．
（3）設函數φ（x）=

f(x)

x

-g（x²），這個函數有幾個零點就說明有幾個根．把b=-2e²代入到這個函數中確定出函數解析式，然后利用導數研究函數單調性的能力并求出函數的最值，討論最值的取值范圍確定函數領點的個數即可求出根．

解答：解：（1）h(x)=lnx+x2+bx+c(x＞0)，h/(x)=

1

x

+2x+b，
依題，h/(x)=

1

x

+2x+b≥0在（0，+∞）上恒成立，
法1：b≥[-(

1

x

+2x)]max，又-(

1

x

+2x)≤-2

1 x •2x

=-2

2

（當且僅當

1

x

=2x，即x=

2

2

時取等）
∴b≥-2

2

．
法2：h/(x)=

2x2+bx+1

x

，令t（x）=2x²+bx+1，則t（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
由二次函數t（x）圖象得，
1°

- b 4 ≥0 △≤0

?-2

2

≤b≤0；
2°

- b 4 ＜0 t(0)=1＞0

?b＞0，
綜合1°、2°得b≥-2

2

．
（2）b=0時，f（x）=lnx，g（x）=x²+c，
設P（x₀，y₀），l₁，l₂的傾斜角分別為α，β，
則tanα=

1

x0

，tanβ=2x0，由于x₀＞0，則α，β均為銳角，
因為切線l₁，l₂與x軸圍成一個等腰三角形依題，有以下兩種情況：
1°α=2β時，tanα=tan2β=

2tanβ

1-tan2β

?

1

x0

=

4x0

1-4x02

?x02=

1

8

?x0=

2

4

，
此時，P(

2

4

，ln

2

4

)，c=ln

2

4

-

1

8

；
2°β=2α時，tanβ=tan2α=

2tanα

1-tan2α

?2x0=

2 x0

1- 1 x02

=

2x0

x02-1

?x02=2?x0=

2

，
此時，P(

2

，ln

2

)，c=ln

2

-2．
3°PA=PB，（A、B為l1、l2與x軸交點），此時P（1，0），c=-1；
（3）b=-2e²時，
令?(x)=

f(x)

x

-g(x2)=

lnx

x

-x4+2e2x2-c(x＞0)?/(x)=

1-lnx

x2

-4x(x2-e2)，
0＜x＜e時，∅′（x）＞0；x＞e時，∅′（x）＜0
∴∅（x）在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減，
∴?max(x)=?(e)=e4+

1

e

-c，
又x→0時，∅（x）→-∞；x→+∞時，∅（x）→-∞
1°∅（e）＞0即c＜e4+

1

e

時，函數∅（x）有兩個零點即方程

f(x)

x

=g(x2)有兩個根；
2°∅（e）=0即c=e4+

1

e

時，函數∅（x）有一個零點即方程

f(x)

x

=g(x2)有一個根；
3°∅（e）＜0即c＞e4+

1

e

時，函數∅（x）沒有零點即方程

f(x)

x

=g(x2)沒有根．

點評：此題考查學生利用導數研究函數單調性的能力，培養學生分類討論的數學思想．