Question

【題目】如圖：在三棱錐中，是直角三角形，，點分別為的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連結BD，根據題意可知BD⊥AC，EF∥AC，從而得到，又因為PB⊥面ABC，得到PB，利用線面垂直的判定定理，證得平面PBD；

（Ⅱ）根據題意，建立適當的坐標系，根據題中所給的邊長，確定對應點的坐標，分別求出兩個平面的法向量，再由夾角公式求二面角的余弦值，從而求得結果.

（Ⅰ）證明：連接BD、在△ABC中，∠B=90°．

∵AB=BC，點D為AC的中點，∴BD⊥AC．

∵E、F分別為AB、BC的中點，∴EF∥AC，

,又∵PB⊥面ABC，EF平面ABC,∴PB,

平面PBD；

（Ⅱ）∵∴PB=BC=2

如圖建立空間直角坐標系，

則E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),則

=(-1,2,0), =(-1,0,2)

設平面PEC的一個法向量為=（x，y，z），

則 =0， =0

即

令x=2,得y=1,z=1

∴=(2,1,1),由已知可得，向量=(2,0,0)為平面PBC 的法向量

∴cos<,>== ，

∴二面角E-PC-B的余弦值為 ．.