Question

已知函數是增函數．
（I）求實數p的取值范圍；
（II）設數列{a_n}的通項公式為，前n項和為S，求證：S_n≥2ln（n+1）．

Answer 1

【答案】分析：（I）求得函數的定義域，利用函數為增函數，可得導數大于0，再換元，利用分離參數法，求函數的最值，即可求得實數p的取值范圍；
（II）先證明，對x≥1恒成立，從而可得，再利用對數的運算性質，即可證得結論．
解答：（I）解：由題意，，∴x≥1，∴函數f（x）的定義域為[1，+∞），
由函數f（x）是增函數，可知對x＞1恒成立，…（3分）   
令，則，注意到t²+1≥2t＞0，所以，即，
所以p≥1為所求．…（6分）  
（II）證明：由（I）知，是增函數，
所以f（x）≥f（1）=0，即，對x≥1恒成立．…（8分）
注意到，所以．…（10分）
∴
==ln（n+1）²=2ln（n+1）
即S_n≥2ln（n+1）成立…（12分）
點評：本題考查函數的單調性，考查不等式的證明，考查利用分離參數法求參數的范圍，考查學生的計算能力，屬于中檔題．