Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的一個短軸端點及兩個焦點構成的三角形的面積為，圓C方程為.

（1）求橢圓及圓C的方程；

（2）過原點O作直線l與圓C交于A，B兩點，若，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程，圓的方程為；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）由離心率為可得，結合得，根據以橢圓的一個短軸端點及兩個焦點為頂點的三角形面積為可得，從而求的，得到橢圓和圓的方程；（2）設出直線的方程，整理方程組，由判別式求出直線斜率的范圍，韋達定理得到坐標的關系，根據向量數量積的坐標表示列出方程，求的斜率.

試題解析：（1）設橢圓的焦距為2c，左、右焦點分別為，由橢圓的離心率為可得，即，所以

以橢圓的一個短軸端點及兩個焦點為頂點的三角形的面積為，即，

所以橢圓的方程，圓的方程為

（2）①當直線的斜率不存時，直線方程為，與圓C相切，不符合題意

②當直線的斜率存在時，設直線方程，

由可得，

由條件可得，即

設，，則，

而圓心C的坐標為（2，1）則，

所以，

即

所以解得或

或