Question

選修4一4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為：

x=t y=1+kt

（t為參數），以O為原點，ox軸為極軸，單位長度不變，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：ρsin²θ=4cosθ，
①寫出直線l和曲線C的普通方程．  
②若直線l和曲線C相切，求實數k的值．

Answer 1

分析：①由

x=t y=1+kt

，能求出直線l的普通方程，由ρsin²θ=4cosθ，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，從而能求出曲線C的普通方程．
②把y=kx+1代入y²=4x，得k²x²+（2k-4）x+1=0，由直線l和曲線C相切，能求出實數k的值．

解答：解：①由

x=t y=1+kt

，得直線l的普通方程為y=kx+1，…（2分）
由ρsin²θ=4cosθ，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴y²=4x，
∴曲線C的普通方程為y²=4x．…（4分）
②把y=kx+1代入y²=4x，
得k²x²+（2k-4）x+1=0，
由直線l和曲線C相切，得△=（2k-4）²-4k²=0，
解得k=1．…（7分）

點評：本題考查參數方程、極坐標方程與普通方程的相互轉化，考查直線與曲線相切的性質的應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．