Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圓C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（I）若直線l過(guò)點(diǎn)A（4，0），且被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

，求直線l的方程；
（II）設(shè)P（a，b）為平面上的點(diǎn)，滿(mǎn)足：存在過(guò)點(diǎn)P的兩條互相垂的直線l₁與l₂，l₁的斜率為2，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，試求滿(mǎn)足條件的a，b的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（I ）因?yàn)橹本�l過(guò)點(diǎn)A（4，0），故可以設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，又由直線被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

，根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿(mǎn)足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．
（II）根據(jù)題意，可以設(shè)出過(guò)P點(diǎn)的直線l₁與l₂的點(diǎn)斜式方程，分析可得圓C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，即可以得到一個(gè)關(guān)于a、b的方程，整理變形可得答案．

解答：解：（Ⅰ）若直線l的斜率不存在，則直線x=4與圓C₁不相交，
故直線l的斜率存在，不妨設(shè)為k，則直線l的方程為y=k（x-4），
即kx-y-4k=0圓C₁圓心（-3，1）到直線的距離d=

|-3k-1-4k|

1+k2

，
直線l被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

，則d=

22-( 3 )2

=1，
聯(lián)立以上兩式可得k=0或k=-

7

24

，
故所求直線l方程為y=0或y=-

7

24

(x-4)．

（Ⅱ）依題意直線的方程可設(shè)為l₁：y-b=2（x-a），l₂：y-b=-

1

2

(x-a)，
因?yàn)閮蓤A半徑相等，且分別被兩直線截得的弦長(zhǎng)相等，
故圓C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，
即

|-6-1-2a+b|

5

=

|4+10-2b-a|

5

，
解得：a-3b+21=0或3a+b-7=0．

點(diǎn)評(píng)：在解決與圓相關(guān)的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，我們有三種方法：一是直接求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出；二是不求交點(diǎn)坐標(biāo)，用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，即設(shè)直線的斜率為k，直線與圓聯(lián)立消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程再利用弦長(zhǎng)公式求解，三是利用圓中半弦長(zhǎng)、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來(lái)求．對(duì)于圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般利用第三種方法比較簡(jiǎn)捷．本題所用方法就是第三種方法．